Begripsvorming

Gebruik van rekentaal, verschillen PO en VO, 21ste eeuwse vaardigheden, belang van vragenstellen, bouwstenen, knelpunten en preventie

Begrip en rekentaal

Het verwerven van elk nieuw leerstofonderdeel in een leerstoflijn begint met begripsvorming. De leerling moet zich iets kunnen voorstellen bij een rekenactiviteit of rekenopdracht en de bedoeling ervan doorzien. Dit heet betekenisverlening. Daarbij is het nodig inzicht te ontwikkelen in rekenwiskundige concepten om adequaat te kunnen handelen in rekensituaties. Onmisbaar hierbij is de rekentaal.

Aandacht voor de ontwikkeling van relevante (vak)taal in de rekenles is nodig voor alle leerlingen. Leraren die tijdens de rekenles aandacht besteden aan de ontwikkeling van de relevante (vak)taal, bieden hun leerlingen daadwerkelijk toegang tot het vak en meer kans om inzichtelijk te leren rekenen.
Als leerlingen niet leren begrijpen wat bepaalde opgaven betekenen, waar de rekentaal in de opgave voor staat en wat er bedoeld wordt met de getallen en bewerkingstekens in een opgave zullen zij alleen geïsoleerde opgaven goed kunnen maken, maar wordt elke toepassing die vraagt om het combineren van kennis een probleem.

Ook sociale normen over taal worden ontwikkeld. Leerlingen leren ten slotte vragen stellen over woorden die ze niet begrijpen, ze leren luisteren naar hoe iemand iets verwoordt en ze proberen rekentaal te gebruiken. Een veilig pedagogisch klimaat is natuurlijk een voorwaarde voor dit alles.

(bron: Volgens Bartjens http://www.volgens-bartjens.nl/nl/)

Rekentaal en Tips

‘Taal is nodig om te kunnen denken’
‘Taal is een middel om over denken te kunnen communiceren’
Stel jezelf de volgende vier vragen om de interactie met de groep goed te kunnen doordenken:

  1. Wat is het doel van de opgave? (Bepaal het rekendoel van de opgave)
  2. Welke denkstappen zou de leerling bij het oplossen kunnen maken? (Ga na welke denkstappen leerlingen maken in relatie tot de context, het model, het formele rekenen)
  3. Welke taal is nodig voor deze denkstappen? (Ga na welke taal hiervoor nodig is en maak daarbij onderscheid in: dagelijkse woorden, schooltaalwoorden, vaktaalwoorden, specifieke formuleringen)
  4. Welke talige ondersteuning kan ik als leerkracht geven om leerlingen deze denkstappen te laten maken? (Ondersteun deze taal gericht met scaffolding-strategieën: zie hiernaast)

Scaffolding-strategieën bij rekenen

(modeling van taalgebruik)

 

  • Geef zelf het goede voorbeeld door de juiste vaktaalwoorden te gebruiken en precies te zijn in je formuleringen. Gebruik vanaf het eerste moment alle vaktaal die nodig is om te werken aan begrip, dus x bij keersommen en ze ook zodanig benoemen;
  • Verwijs naar of herinner leerlingen aan de benodigde denkstappen;
  • Verwijs naar of herinner leerlingen aan de specifieke woorden en formuleringen;
  • Vraag aan de leerlingen dat ze precies zijn in hun formuleringen en neem geen genoegen met ‘dat bedoel ik ook’: laat leerlingen gesproken of geschreven taal verbeteren;
  • Leer de leerlingen om precies te formuleren. Houd je van de domme en doe net alsof je niet begrijpt wat de leerling bedoelt. De noodzaak om preciezer te formuleren dient zich dan aan. Van belang is ook om dit samen met je collega’s te doen. Teambreed afspraken maken over het belang van taal bij rekenen-wiskunde en afspraken maken hoe daar aandacht aan gegeven wordt in rekenwiskundelessen;
  • Herformuleer incorrect vaktaal-gebruik van de leerlingen; zowel gesproken als geschreven;
  • Moedig leerlingen aan zelfstandig de talige denkstappen te verwoorden;
  • Laat de leerlingen ook ervaren wat er gebeurt als ze informatie verkeerd interpreteren of zonder nadenken aan het rekenen gaan. Dat kan je doen op het onderste niveau van het handelingsmodel.

(bron: Volgens Bartjens http://www.volgens-bartjens.nl/nl/)

Hoe verbeter je de doorgaande lijn van PO naar VO?

Enkele verschillen in rekentaal PO en VO

Een commissie heeft de verschillen en overeenkomsten op het gebied van instructietaal, oplossingsstrategieën en moeilijkheden tussen PO en VO in kaart gebracht. Hieronder volgen enkele voorbeelden:

  • In PO wordt bij vermenigvuldigen een x gebruikt, in VO een (23×34 = 23.34);
  • In PO wordt gesproken over kommagetallen, in VO over decimale getallen;
  • Een breuk wordt in het PO vaak alleen als getal gezien, maar is in feite ook een deling (4/5 is 4:5);
  • Veel leerlingen in het VO vinden het werken met een schaal en het zich kunnen voorstellen van lengte-, oppervlakte- en inhoudsmaten nog lastig.
  • Op het VO is de verhoudingstabel een belangrijk instrument. In het PO wordt dit vaak alleen gebruikt om ontbrekende getallen te vinden. Leerlingen hebben niet goed geleerd om een verhoudingstabel in te zetten bij hun rekenwerk.

Leerkrachten van groep 8, misschien al zelfs vanaf groep 7, kunnen hun instructie aanpassen en al bewust de rekentaal van het VO in combinatie met de rekentaal van PO inzetten.

(bron: Volgens Bartjens http://www.volgens-bartjens.nl/nl/)

21ste eeuwse vaardigheden

De inhoud van het onderwijs zal moeten veranderen om leerlingen 21e eeuwse vaardigheden aan te leren. Het rekenwiskunde onderwijs zal zich moeten richten op een probleemgeoriënteerde en interactieve werkwijze. Daar is voor nodig dat:

  • de didactiek verandert
  • taakmotivatie wordt gestimuleerd
  • wiskundige interesse wordt gecultiveerd
  • het hypothetisch leertraject wordt doordacht

(bron: Volgens Bartjens http://www.volgens-bartjens.nl/nl/)

t
Wat zijn 21ste eeuwse vaardigheden?

Een eenduidige definitie van 21e eeuwse vaardigheden is moeilijk te geven. Wereldwijd worden verschillende definities en modellen van 21e eeuwse vaardigheden gehanteerd. Op veel onderdelen vertonen ze overeenkomsten, op sommige onderdelen wijken ze van elkaar af of vullen ze elkaar aan. (zie http://www.21stcenturyskills.nl/modellen voor meer informatie)

Verandering van didactiek

Leerkrachten verwachten dat zij uitleg geven en dat leerlingen reproduceren wat hen eerder is voorgedaan. Een probleemgeoriënteerde klassencultuur kan juist verder bevorderd worden door de manier waarop klassendiscussies worden gevoerd.

– Om uitleg vragen: Kun je uitleggen hoe je daaraan komt?
– Leerlingen uitnodigen om vragen te stellen: Wie heeft een vraag voor Tim?
– Het probleem door te geven: Wie kan Paula’s vraag beantwoorden?
– Om een persoonlijk oordeel te vragen: Anna zegt dat het 16 euro kost, zijn jullie het daarmee eens?
– Te bevorderen dat leerlingen luisteren en proberen te begrijpen wat er wordt gezegd: Heb je begrepen wat zij zei, kun je het mij uitleggen?

Stimuleren taakmotivatie

Leerlingen moeten niet alleen weten dat dit van ze wordt verwacht, ze moeten het zelf ook willen. Om taakmotivatie te bevorderen is het van belang dat de leerlingen hun eigen ontwikkeling en hun eigen prestaties gaan waarderen; het gaat om de juiste balans tussen competentie en uitdaging.

Wiskundige interesse

Leerlingen leren niet alleen leren via het zelf oplossen van problemen. Ze moeten ook nadenken over wat die oplossingen wiskundig betekenen en zichzelf vragen stellen als (zie ook hiernaast allerlei “vragen die leren stimuleren”):

– Werkt dit altijd?
– Kan ik dat bewijzen?
– Kan het ook handiger?
– Kan ik dit ook ergens anders toepassen?

Kern hierbij is de oprechte belangstelling van de leerkracht over het denken van de leerling; wanneer leerlingen ervaren dat leraren echt geïnteresseerd zijn in hoe zij denken, dan zijn ze ook bereid daarover te praten en een extra inspanning te leveren.

Hypothetisch leertraject

De rol van de leerkracht verschuift van uitleggen naar het aanbieden van opdrachten en het stellen van vragen, die leerlingen stimuleren tot nadenken. Het leertraject komt het best op gang door aan te sluiten bij de ideeën waar de leerlingen zelf mee komen en te proberen van daaruit de gewenste kennis op te bouwen.

Vragen die leren stimuleren

Vragen zijn erg belangrijk in de rekenwiskundeles. Leerkrachten stellen vragen om voorkennis te activeren, om te controleren of uitleg is begrepen, om leerlingen bij de les te houden en zo meer. Hierbij gaat het erom dat het denken nadrukkelijk bij de leerlingen ligt en dat leerlingen zich er bewust van zijn dat ze aan het leren zijn en wat ze dan precies aan het leren zijn. Stel vooral ook vragen waarop je zelf het antwoord nog niet weet en laat je door je leerlingen verrassen.
Enkele Voorbeelden van “vragen om te leren“:

een oordeel
  • Welke opgave is makkelijker en waarom?
  • Wat maakt dat dit een makkelijke/moeilijke opgave is?
  • Hoe moeilijk is deze opgave voor jou, op een schaal van 1 tot 10?
  • Welke opgave kan sneller worden opgelost en waarom?
  • Als je één opgave mag kiezen om te maken, welke kies je dan en waarom?
  • Welke opgave vind je mooi en waarom?
  • Welke opgave vind je het leukst om te maken en waarom?
  • Welke opgave zou je aan iemand in de groep….(hoger of lagere groep) kunnen geven en waarom?
  • Zou jij deze manier graag willen gebruiken?
  • Werkt/mag deze manier altijd?
  • Is dit een snelle manier?
  • Bedenk een situatie waarin deze manier werkt/niet werkt?
  • Welke manier zal bij deze opgave het snelst werken?
  • Waar zou je deze manier/dit voor nodig kunnen hebben?

Door de leerling te vragen naar een eigen oordeel of keuze weet de leerling zelf welk antwoord ‘goed’ is en niet de leerkracht.

het leggen van verbindingen
  • Waar doet deze opgave je aan denken?
  • Wat weet je al dat je bij deze opgave zou kunnen helpen?
  • Wat moet/wil je nog weten om deze opgave te kunnen maken?
  • Wat als de opgave zó (net iets anders) zou zijn?
  • Wat is de overeenomst met/het verschil tussen deze manier en ……?
  • Wat heeft deze manier te maken met … (bijvoorbeeld deelopgave met vermenigvuldigen)?
  • Kun je deze manier ook gebruiken voor deze andere opgave?
  • Kun je een andere opgave bedenken die ook op deze manier kan worden opgelost?
  • Als je deze opgave als voorbeeld neemt, wat kun je dan vertellen over dit soort opgaven in het algemeen?
  • Kun je je antwoord controleren? Hoe?
vragen
  • Wat valt je op aan deze opgave?
  • Wat is de overeenkomst tussen deze opgaven?
  • Wat is het verschil tussen deze opgaven?
  • Wat hebben deze opgaven met elkaar te maken?
  • Hoe zou je dit met eenvoudiger getallen aanpakken?
  • Welke opgaven (van een les, verschillende lessen) horen bij elkaar en waarom?
  • Wat is het eerste waar je aan denkt als je deze opgaven ziet?
  • Wat is het tweede waar je aan denkt?
  • Welke van het eerste rijtje vind je het makkelijkste? Welke lijkt je het moeilijkste?
  • Hoe zou zo’n rijtje eruit kunnen zien met andere getallen?
  • Welke structuur/welk patroon zie je in de afzonderlijke rijtjes?
  • Welke structuur/welk patroon zie je tussen de rijtjes onderling?
  • In welke volgorde ga je dit aanpakken; in de volgorde van het boek of in een andere volgorde?
eigen producties
  • Maak net zo’n rijtje/opgave, maar dan met makkelijker/moeilijker getallen.
  • Maak net zo’n rijtje/opgave, maar dan met hele getallen/met breuken.
  • Maak de rijtjes langer. Hoe kan de volgende opgave er uitzien?
  • Maak een rijtje dat hier op lijkt, maar met steeds dezelfde uitkomst.
  • Bedenk een rijtje/opgave voor groep …..
  • Bedenk een opgave over iets wat je in de toekomst verwacht te leren.
  • Laat je oplossingswijze zien in een tekening.

Een andere vorm van vragen naar eigen input is leerlingen te vragen alles (of zo veel mogelijk) op te schrijven wat ze weten van een bepaald rekenkundig onderwerp. Bijvoorbeeld over:

  • Het getal 12/ een miljoen/…
  • Vermenigvuldigen
  • Het optellen van breuken
  • Oppervlakte
  • Procenten
  • ….
een ander perspectief in te nemen
  • Kun je bij deze opgave aan het einde beginnen? Of ergens middenin?
  • Waar ga je beginnen met werken/rekenen/denken?
  • Hoe zou deze opgave er uitzien als dit het goede antwoord zou zijn?
  • Hoe zou een fout antwoord eruit kunnen zien?
  • Wat is een antwoord dat zeker fout is?
  • Iemand gaf dit foute antwoord. Hoe zou dat kunnen komen?
  • Wat heeft deze opgave te maken met ….(bijvoorbeeld opgave uit eerder blok)?
  • Kan deze opgave worden opgelost met ….(bijvoorbeeld bepaalde aanpak/bewerking)?
  • Hoe zou ..(andere leerling)….. dit aanpakken?
  • Waarvoor zou je dit allemaal nodig kunnen hebben?
het eigen leerproces
  • Wat heb je geleerd van deze opgave?
  • Wat vind je het belangrijkste om te onthouden van deze les?
  • Hoe kun je zorgen dat je dit ook echt gaat onthouden?
  • Wat verwacht je te gaan doen in deze les? Wat verwacht je te leren?
  • Welke verwachting kwam uit? Welke niet?
  • Wat in deze les vond je makkelijk/moeilijk te begrijpen?
  • Wat heeft je vandaag echt laten nadenken?
  • Wat heb je goed gedaan deze les?
  • Wat vond je mooi in deze les?
  • Wat vraag je je nog af na deze les?
  • Wat wil je volgende keer anders/beter doen?
  • Wat voor vraag zou je kunnen stellen aan je buurman/buurvrouw om te kijken of hij/zij het begrepen heeft?
  • Welke vraag kun je bedenken die ik (de leerkracht) aan je zou mogen stellen, zodat jij in je antwoord op deze vraag goed kunt laten zien wat je hebt geleerd?

Bouwstenen

Om leerlingen verder te helpen in hun rekenontwikkeling zijn er een paar bouwstenen waar hun fundering uit moet bestaan.

lijst met bouwstenen

  • getallen t/m 100 kunnen opzetten en aflezen op kralenketting: aantal wat je opzet = kralen “voor de knijper”.
    • 10-tal in één keer zien;
    • herkennen dat structuur binnen de tientallen steeds hetzelfde is;
    • bij het opzetten van getallen gebruik maken van de structuur.
  • sprongen van 10 vanaf een willekeurig getal erbij en eraf.
  • begrijpen dat een sprong van 10 hetzelfde is als +10, dus dat je wanneer je sprongen van 10 kunt maken, je ook sommen kunt maken als
    23+10, 26-10 en ook 74+10, 83-10.
  • welk getal komt ervoor/erna (telrij t/m 100).
  • getal splitsen in tienvouden en eenheden, kaal en in context: dus bij sommen als 42=40+.. een verhaal laten bedenken, maar ook vanuit een context starten.
  • getallen kunnen neerleggen met gestructureerd materiaal (geld, MAB) > 37 leggen met 3 staafjes (3x 10 euro) en 7 lossen (7x 1 euro).
  • tienvouden en eenheden samenvoegen, kaal en in context.
  • getallen kunnen lezen en schrijven.
  • positiewaarde: hoeveel is de 3 waard in 36 en in 53?
  • leerlingen begrijpen de relatie tussen de kralenketting, de getekende kralenketting, de streepjesgetallenlijn (kleine streepjes bij enen, half hoge streepjes bij vijfvouden en hoge streepjes bij tienvouden) en de lege getallenlijn; ze begrijpen dus wat een streepje op een lege getallenlijn betekent.

Knelpunten

Knelpunten kunnen ontstaan als leerlingen zich niet kunnen inleven in een context of als er veel wordt gewerkt met opdrachten zonder context (kale sommen). Juist rekenzwakke leerlingen krijgen vaak rijtjes kale sommen te verwerken. Dat leidt tot betekenisloos rekenen en brengt rekenzwakke leerlingen juist in verwarring. Het werken met contexten is juist ook voor rekenzwakke leerlingen van belang voor het ontwikkelen van rekenwiskundige concepten.
De Vertaalcirkel is een mooi didactisch hulpmiddel om hierbij in te zetten. Werken met de vertaalcirkel leidt tot een beter begrip van de bewerkingen en strategieën en tot een beter voorstellingsvermogen.

Preventie

Groep 1-2

Voor de begeleiding van deze leerlingen blijft het altijd nodig om aandacht te besteden aan het verbeteren van hun begripsvorming, zowel bij betekenisverlening als bij conceptontwikkeling. Getalbegrip is de wortel van alle rekenen.

  • Zorg voor voldoende activiteiten die gericht zijn op verkennen, onderzoeken en (fysiek) ervaren;
  • Laat de kinderen experimenteren, doen alsof en concrete problemen oplossen binnen een context. Laat hen bijvoorbeeld genoeg bordjes halen voor alle kinderen in de groep;
  • Een volgende stap is dat kinderen situaties leren afbeelden en afbeeldingen leren begrijpen;
  • Laat kinderen vertellen wat ze doen en hoe ze dat doen.
Groep 3-5
  • Besteed aandacht aan de stap van contextgebonden naar objectgebonden: de koppeling van de werkelijkheid aan een afbeelding van die werkelijkheid en vervolgens aan een denkmodel voor het formele rekenen;
  • Zorg voor contexten die functioneel zijn en geen of weinig tekst bevatten;
  • Bewerkingen bevatten niet meer dan één denkstap;
  • Laat leerlingen rekenverhalen tekenen en vertellen.
Groep 6-8
  • Geef leerlingen goed de tijd nieuwe onderwerpen te verkennen en koppel nieuwe informatie aan wat leerlingen al weten;
  • Laat leerlingen op informele basis inzicht verwerven en ga niet te snel naar bewerkingen op formeel niveau (kale sommen).